At startup of PhonerLite the entries in logbook with empty names are checked. So after syncing the Google Contacts you have to restart the application. Sorry.
If the original incoming call had a name information included then this one is visible in column "Name". Such entries will not be updated after new sync with Google Contacts. 
But new entries in logbook should always use the name from internal phone book.

Weil das Logbuch anzeigt, was für diesen Ruf um diese Uhrzeit als Name verwendet wurde. Das wird auch nicht überschrieben - es sei denn der Name ist leer. 
Bei SIP kann im sogenannten Display-Feld ein Name mitkommen. Das nutzen beispielsweise einige Telefonanlagen auch um den Namen dort reinzusetzen. Das übernimmt PhonerLite und ändert das auch nicht. 
Der Tooltip zeigt dagegen den aktuellen Namen an, falls es inzwischen im Telefonbuch eine neue Zuordnung gibt.

Da muss niemand demütig sein noch muss man etwas bezahlen. Ich persönlich empfinde es als richtig, nicht nachträglich die Namen im Logbuch zu ändern. Bitte habe Verständnis dafür, dass ich hier momentan nicht etwas ändere.
Für mich ist das auch ein Spezialfall, dass nach einem eingehenden Anruf automatisiert ein Google-Kontakt angelegt wird.
Ein normaler Benutzer klickt im Logbuch einen Eintrag an und wählt "ins Telefonbuch aufnehmen". Dabei kann man dann auch einen Namen eintragen. Dieser wird dann auch für den Logbucheintrag übernommen.
Bitte habe Verständnis, dass ich für deinen Spezialfall keine Lösung habe.

Inzwischen gibt es längst die offizielle Version dazu. Du brauchst nicht mehr die Beta.
Ich gehe mal davon aus, dass du die Beta-Version in ein anderes Verzeichnis extrahiert hast.
Du kannst die "alte" Version starten und über das Hilfe-Menü das Update einspielen. Im Normalfall wird dabei die alte Version ersetzt und dann sollte die Konfiguration auch übernommen werden. 

Hallo noch mal, leider funktioniert nach dem Update nichts mehr.
Die Google-Kontakte konnte ich zwar importieren, aber ich kann keine Verbindung mehr aufbauen. Also habe ich mich zum Radikalschnitt entschlossen. Das alte Programm habe ich mit einem Uninstaller komplett deinstalliert, sämtliche Dateien und alten Fragmente in der Registry wurden entfernt. So bin ich danach vorgegangen:

in der FRITZ!Box das alte IP-Telefon gelöscht und ein neues Telefon angelegt, Telefonname „Phoner“, Benutzer „Ruckstuhl „Passwort „XYZ“ (natürlich ein anderes Passwort vergeben). Benutzer erfolgreich an der FRITZ!Box registriert.

die neueste Version Phonerlite installiert, die Konfiguration wurde gestartet.
Reiter Server : fritz.box STUN und Domain/Realm leer gelassen 
Reiter Benutzer: Benutzername: „Phoner“, Authentifizierungsname „Ruckstuhl“, Passwort „XYZ“

ich muss dazu sagen, ich verwende eine feste IP-Adresse für das Netzwerk. Mit der alten Version hat alles funktioniert, mit der neuen Version kriege ich keine Verbindung: der normalerweise grüne Punkt ist rot, daneben steht „sip:Phoner@fritz.box nicht registriert<Request Timeout>

Keine Chance mehr das Teil zum Laufen zu kriegen. Hast Du vielleicht noch eine Idee?

Danke für die Rückmeldung. Im Grunde waren also die Zugangsdaten nicht richtig, oder?

PhonerLite ist ein "IP-Telefon". Ein Telefon als Software - ein Softphone.
Du richtest in der Fritzbox eine Nebenstelle ein (Telefoniegerät). Genau für dieses Telefon gibt man beim Anlegen der Nebenstelle einen Benutzernamen und Kennwort ein. Und eben genau das trägst du in dem IP-Telefon (hier PhonerLite) auch ein. Das sagt dir auch die Fritzbox, siehe hier ein Beispiel:
Diesen Anweisungen musst du nur folgen.